Agregation externe d'anglais mode d'emploi by Rotge

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Chez le docteur Badnews. Pour d´epister une certaine maladie, on applique un test. Si le patient est effectivement atteint, le test donne un r´esultat positif dans 99% des cas. Mais il se peut aussi que le r´esultat du test soit positif alors que le consultant est en bonne sant´e, et ceci se produit dans 2% des cas. On sait qu’en moyenne un consultant sur 1000 est atteint de la maladie `a d´epister. Le docteur Badnews vous apprend que votre test est positif. Quelle probabilit´e avez-vous d’ˆetre vraiment atteint ?

F+ f f− On a d´ej` a donn´e un sens `a E[f + (X)] et E[f − (X)], mais comme ces quantit´es non n´egatives peuvent ˆetre infinies, il faut prendre quelques pr´ecautions avant de d´efinir l’esp´erance E[f (X)] par la formule E[f (X)] = E[f + (X)] − E[f − (X)] . 5) `a cause de l’´eventualit´e de la forme ind´etermin´ee +∞ − ∞. On distingue 3 sous-cas : (B1) Si E[|f (X)|] < ∞, c’est-`a-dire : |f (x)|p(x) < ∞ , x∈X on dit alors que f (X) est int´egrable. 5). Dans ce cas E[f (X)] est finie et E[f (X)] = f (x)p(x) .

19. Soit un espace d’´epreuves a` 4 points Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 } et soit P la probabilit´e sur (Ω, P(Ω)) d´efinie par P (ω1 ) = P (ω2 ) = P (ω3 ) = P (ω4 ) = 1 . 4 On consid`ere les ´ev´enements suivants : A = {ω1 , ω2 } , B = {ω2 , ω3 } , C = {ω1 , ω3 } . Montrez que A est ind´ependant de B, B est ind´ependant de C, C est ind´ependant de A, mais que A, B et C ne forment pas une famille ind´ependante. Avertissement. Les exercices qui suivent sont parfois ´enonc´es dans un style non math´ematique.

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